Правило записи

N_q, где N - число, а q - основание

Десятичная система счисления - это позиционная система (т.е. значение каждой цифры в записи числа зависит от его разряда) по основанию 10.

123₁₀

В приведенном выше числе три разряда: единицы, десятки и сотни. Можем прочитать это число так 1 сотня, 2 десятки и 3 единицы (100 + 20 + 3).

Каждый разряд мы можем пронумеровать, с младшего (единицы), начиная с ноля.

После того, как индексы расставлены, можно записать число в развернутой форме. Развернутая форма записывается в виде суммы разрядных слагаемых. Каждое разрядное слагаемое записывается в виде числа умноженного на основание системы возведенное в степень индекса(веса) разряда.

1*10² + 2*10¹ + 3*10⁰ = 100 + 20 + 3

Когда мы знаем, как записать десятичное число в развернутой форме, мы можем из любой системы счисления перевести в десятичную. Например возьмем число:

1011₂

1. Расставим индекс(вес) разряда начиная с младшего разряда. Младший разряд, крайний правый, следовательно расставляем индексы справа налево:

2. Теперь запишем число 1001₂ в развернутой форме:

1*2⁰ + 1*2¹ + 0*2² + 1*2³

3. Получим сумму разрядных слагаемых:

1*2⁰ + 1*2¹ + 0*2² + 1*2³ = 11₁₀

Поздравляю! Теперь мы знаем что число 1011₂ = 11₁₀

Любое число любой системы счисления, мы можем перевести в десятичную систему счисления, используя развернутую запись.

Для тренировки, переведите числа: 101₂, 111₂, 110₂, в десятичную систему счисления.

Точно так же можно поступать и с другими системами счисления. Например:

205₈

Расставим индексы(вес):

Запишем развернутую запись числа, и выполним вычисления:

205₈ = 5*8⁰ + 0*8¹ + 2*8² = 133₁₀

Разберем другой пример:

1A4₁₆

Расставим индексы(вес):

Далее мы можем записать развернутую форму, но как нам вычислить второй разряд?

Из этой таблицы видно что число A₁₆ = 10₁₀

Запишем развернутую форму числа:

1A4₁₆ = 1*16² + 10*16¹ + 4*16⁰ = 420₁₀

Попробуйте самостоятельно перевести числа: 11C₁₆, 245₈, 110₂, в десятичную систему счисления.

Чтобы перевести десятичное число в систему счисления с основанием q, нужно последовательно делить десятичное число на q до получения целого остатка, который является младшим разрядом в системе счисления q, и так до тех пор, пока частное не станет меньше q.

Для примера возьмем число 61 и переведем его в двоичную систему счисления.

Для удобства можно использовать короткую запись.

Запишем число начиная справа на лево 111101₂.

61₁₀ = 111101₂

Этот алгоритм подходит для перевода в любую систему счисления. Например переведем число 61 в восьмеричную систему счисления. Основание системы счисления для перевода 8, следовательно q = 8.

Запишем число справа на лево 75₈.

61₁₀ = 75₈

Довольно просто. Теперь попробуем перевести десятичное число 61 в шестнадцатеричное, следовательно q = 16.

Используя короткую запись:

Посмотрим на таблицу соответствия между десятичными и шестнадцатеричными числами.

13 соответсвует D. Запишем в ответ шестнадцатиричное число.

61₁₀ = 3D₁₆

Чтобы перевести дробное число из системы счисления по основанию q, в десятичную систему счисления, мы будем пользоваться теми же правилами что и при переводе целого числа, за исключением того что разряды дробной части будут пронумерованы отрицательными числами.

Для примера возьмем число:

101,11₂

И переведем его в десятичную систему счисления. Это число записано в двоичной системе счисления, по основанию 2.

Расставим индексы(вес) разрядов:

Теперь запишем число 101,11₂ в развернутой форме и выполним вычисления:

101,11₂ = 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ + 1*2^-1 + 1*2^-2 = 4 + 0 + 1 + 0,5 + 0,25 = 5,75₁₀

Получим:

101,11₂ = 5,75₁₀

По тому же алгоритму, возможно переводить из любой системы счисления в десятичную.

Самостоятельно переведите в десятичную систему счисления: 121,22₃, 55,41₈, 4AC₁₆